Масъалаи № 42. б) Исбот карда шавад, ки \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад), тавассути ба ҳаргуна адади \(\varepsilon > 0\) мувофиқ гузоштани адади \(N = N(\varepsilon)\), ки \(|x_n| < \varepsilon\) ҳангоми \(n > N\), агар

б) \(x_n = \frac{2n}{n^3 + 1}\).

Ҷадвали зерин пур карда шавад:

Ҳалли б).

\(|x_n| = \frac{2n}{n^3 + 1} = \frac{2}{n^2 + \frac{1}{n}} < \frac{2}{n^2}\)

Яъне, агар адади \(N = N(\varepsilon)\) чунин бошад, ки барои адади натуралии дилхоҳи \(n > N\) нобаробарии зерин ичро мешавад

\(\frac{2}{n^2} < \varepsilon\),

онгоҳ барои ин адади натуралии \(n\)

\((1)\quad |x_n| = \frac{2n}{n^3 + 1} < \varepsilon\)

низ иҷро мешавад.

Бигзор адади натуралии N чунин бошад, ки

\(\frac{2}{N^2} \leq \varepsilon\).

Аз ин ҷо

\(\frac{2}{\varepsilon} \leq N^2\)

\(N \geq \sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\).

Пас, агар \(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right]\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии (1) иҷро мешавад.

Бигзор \(\varepsilon > 0\) ва \(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right]\), пас

\(|x_n| = \frac{2n}{n^3 + 1} < \varepsilon\),

ҳангоми \(n > N\).

Ин маънои онро дорад, ки пайдарпаии \(x_n = \frac{2n}{n^3 + 1}\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад).

1) Агар \(\varepsilon = 0,1\), онгоҳ

\(N = [\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}] = [\sqrt{\frac{2}{0,1}}] = 4 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 4\)

\(|x_n| < 0,1\)

мешавад.

2) Агар \(\varepsilon = 0,001\), онгоҳ

\(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right] = [\frac{1}{0,001}] = 14 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 14\)

\(|x_n| < 0,001\)

мешавад.

3) Агар \(\varepsilon = 0,0001\), онгоҳ

\(N = \left[\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right] = [\frac{1}{0,0001}] = 44 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 44\)

\(|x_n| < 0,0001\)

мешавад.

Ҷадвалро пур мекунем: